Crecimiento en R^3

Buenas a todos¡¡

Quería colgar este post esta mañana cuando he llegado de interpeñas, pero me llamaríais enfermo y loco, asi que lo cuelgo ahora :).

La cuestion es, que el otro dia me aburría en clase... asi que hice lo que hago cuando me aburro y solo dispongo de lapiz y papel: invertarme cosas. En este caso también estaba bambi conmigo, pero no quería distraerla.

Problema inicial:

Necesito saber la funcion de crecimiento de un cubo. No se si este problema existe, o me lo he invenado yo, pero he decidio llamarlo asi. Mas o menos consiste en lo siguiente:

Tenemos un cubo de 6 caras. Supongamos que el cubo crece a cada ciclo que pasa (quieras que no, algo se te queda de lo que el profesor habla). En el primer ciclo solo hay un cubo, pero en el segundo ciclo, de cada lado del cubo crece otro cubo. Por tanto, estariamos hablando de 7 cubos. Sus vistas serían:

En el tercer ciclo, de cada uno de estos 7 cubos (solo vemos 6, pero hay que contar el septimo que está en el interior), crece, y de cada lado le sale un cubo nuevo. Sin embargo, hay que tener en cuenta que hay cubos que se solaparan. Contaremos los cubos solapados como uno solo. (De no ser asi, este problema sería realmente sencillo, cuadrático y no valdría la pena perder un cuarto de hora sacando ecuaciones). Tendremos por tanto, 21 cubos. Las vistas serian asi:

Tenemos, por tanto, en el tercer ciclo:

- 13 cubos en la capa grande (capa x)

- 5 cubos en la capas inmediatamente superior e inferior a la grade (capa o)

- 1 cubo en la capa superior e inferior (capa n)

Es decir, estableciendo una tabla:

Ciclos Cubos

1 1

2 7

3 25

Como el crecimiento del cubo es simétrico, basta con dividir el trabajo e ir trabajando en R2 y por capas. Contaremos entonces cuantos cubos tiene la capa central en cada ciclo, y le sumaremos lo siguiente:

- La capa inmediatamente superior (que no es sino la grande anterior), y asi sucesivamente, formando una recurrencia.

Ejemplo:

En el primer ciclo el cubo es 1

En el segundo ciclo los cubos son 5 + 2*[1]

En el tercer ciclo los cubos son 13 + 2*[5] + 2*[1]

Luego, la recurrencia está clara, y los coeficientes de la misma son dos porque estamos contando la capa central, y el crecimiento desde el plano de la capa central hacia un lado.

El problema ahora es, como hallar el primer sumando de cada ciclo? Es decir, como hallar los cubos de la capa central de cada ciclo? La respuesta es grafica:

Partimos siempre de que hay uno, y despues se le suman cuatro veces lo que se expande.

Segundo ciclo: (figura1)

1 + 4*1

Tercer ciclo: (figura 2)
1 + 4*2 + 4*1. (Es decir, al cubo central le sumamos 2 cubos en las 4 direcciones, y a esos nuevos cubos les sumamos un cubo en cada direccion).
=> 1 + 4*[2+1]

Cuarto ciclo: (figura 3)
1 + 4*[3+2+1]

N-esimo ciclo:
1 + 4*[(n-1)+...+2+1]

Por tanto, nuestra ecuacion general seria:

a1 = 1

a2 = 1+4*[1] + 2*[a1] => 5 + 2*(1)

a3 = 1+4*[2+1] + 2*[cc(a1)+cc(a2)] => 13 + 2*[5] + 2*[1]

donde cc(an) es = capa central de an

Quedando asi:
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an= 1 + 4*[1+2+...(n-1)] + 2*[cc(a1)+cc(a2)+...+cc(an)]

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Esta formula no vale para nada, y es una mierda calcular el caso n-esimo. Hay otra formula optimizada, pero ya la colgare en otro post que ahora tengo sueño, jeje.

Enga, un saludo a todos

Sr. Clorofila